न्यूटन पद्धति

न्यूटन पद्धति

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न्यूटन पद्धति (The Newton's method) प्रारंभिक अनुमान $x_0$ से शुरू होने वाले फ़ंक्शन $f$ के रूट $\alpha$ को खोजने के लिए एक क्रम $x_k$ बनाता हैं। हम $x_0$ पर $f$ के स्पर्शरेखा का निर्माण करते हैं। और हम स्पर्शरेखा की रूट की गणना करके $\alpha$ का एक अनुमान का पता लगाते हैं। इस पुनरावृत्ति प्रक्रिया को दोहराते हुए हमे अनुक्रम $x_k$ प्राप्त होती हैं

न्यूटन पद्धति का व्युत्पन्न

एक दूसरे ऑर्डर टेलर विस्तार के साथ $f(x)$ अनुमानित $x_k$ है।

$f(x)=f(x_k)+f^{\prime }(x_k)(x-x_k)+\frac{f^{″}({\eta }_k)}{2}(x-x_k{)}^2,$

$x$ और $x_k$ के बीच में ${\eta }_k$ के साथ. $x=\alpha$ को लागू करना और उस $f(\alpha )=0$ को स्मरण करना जिसे हम थोड़ा पुनर्व्यवस्थित करते हैं

$\alpha =x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}-\frac{(\alpha -x_k{)}^2}{2}\frac{f^{″}({\eta }_k)}{f^{\prime }(x_k)}.$

अंतिम टर्म को छोड़ने पर, हम $\alpha$ का अनुमान प्राप्त कर लेते हैं जिसे हम $x_{k+1}$ कहते है। $\alpha$:

न्यूटन पद्धति :

$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}.$